BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Berbagai aplikasi yang telah kita gunakan pada masa sekarang ini adalah salah satu peranan matematika terhadap perkembangan teknologi informasi. Tanpa dasar-dasar dari matematika, maka penemu, penggagas serta pembuat program akan sangat kesulitan dalam menemukan ide-ide ke arah aplikasi yang canggih dengan dibantu dengan peralatan yang modern.
Teknologi yang berkembang saat ini menunjukkan bahwa telah banyak penerapan dari matematika dalam pengembangan ilmu di bidang lain.
1.2. Tujuan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk menentukan nilai gaya konservatif dengan metode beda sentral serta penyelesaian melalui pemograman dengan bahasa C++ di dalam mempelajari fisika komputasi.
1.3. Rumusan Masalah
1. Menjelaskan diferensial dengan metode beda sentral.
2. Menerapkan diferensial dalam beberapa kasus pada fisika dan penyelesaian.
1.4. Metode Penulisan
Materi ini mencakup penjelasan seberapa jauh kita dapat menganalisa pengertian dari diferensial numerik pada fisika komputasi dengan mengaplikasikan setiap bidang dalam pengertian penjelasan turunan beda sentral dengan detail dan jelas. Diferensial numerik dengan penjelasan lebih khusus sehingga lebih dapat dimengerti karena dijelaskan dengan rinci untuk memperoleh hasil yang memuaskan. Metode yang dipergunakan pada pembuatan makalah ini Studi Pustaka yaitu dengan membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini. Selain itu, dalam pembuatan makalah ini penulis juga mendapatkan bahan dari internet.
BAB II
PEMBAHASAN
. Salah satu contoh penerapan ilmu komputer yang digunakan untuk pengembangan di berbagai bidang adalah Persamaan Diferensial Elementer. Persamaan Diferensial Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh kasus yang sering dijumpai seperti pada gaya pegas. Gaya pegas sangat dibutuhkan untuk kegiatan-kegiatan dalam bidang pembangunan maupun bidang teknik. Persamaan diferensial dari gaya pegas ini kemudian dijadikan sebuah persamaan matematika dalam bentuk simbol dan rumus sehingga perhitungan dari gaya pegas ini menjadi lebih mudah dan cepat. Pada bagian inilah persamaan diferensial elementer sangat berperan dalam mengubah suatu persamaan persamaan diferensial dan menyelesaikannya ke dalam bentuk persamaan linear atau yang lebih dikenal adalah persamaan tersebut menjadi sebuah rumus. Oleh karena itu, persamaan diferensial yang termasuk dalam ilmu matematika ini menjadi sangat penting untuk dipelajari tidak hanya dalam ilmu matematika saja tetapi juga dalam ilmu-ilmu yang lain.
Contoh kasus yang sering dijumpai seperti pada gaya pegas. Gaya pegas sangat dibutuhkan untuk kegiatan-kegiatan dalam bidang pembangunan maupun bidang teknik. Persamaan diferensial dari gaya pegas ini kemudian dijadikan sebuah persamaan matematika dalam bentuk simbol dan rumus sehingga perhitungan dari gaya pegas ini menjadi lebih mudah dan cepat. Pada bagian inilah persamaan diferensial elementer sangat berperan dalam mengubah suatu persamaan persamaan diferensial dan menyelesaikannya ke dalam bentuk persamaan linear atau yang lebih dikenal adalah persamaan tersebut menjadi sebuah rumus. Oleh karena itu, persamaan diferensial yang termasuk dalam ilmu matematika ini menjadi sangat penting untuk dipelajari tidak hanya dalam ilmu matematika saja tetapi juga dalam ilmu-ilmu yang lain.
penerapan diferensial pada komputer
Awal mula komputer yang sebenarnya dibentuk oleh seorang profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871). Tahun 1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin mekanik dan matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam mengerjakan tugas yang sama berulangkali tanpa kesalahan,sedang matematika membutuhkan repetisi sederhana dari suatu langkah-langkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab kebutuhan mekanik.Usaha Babbage yang pertama untuk menjawab masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika ia mengusulkan suatu mesin untuk melakukanperhitungan persamaan differensial.Mesin tersebut dinamakan Mesin Differensial.Dengan menggunakan tenaga uap,mesin tersebut dapat menyimpan program dan dapat melakukan kalkulasi serta mencetak hasilnya secara otomatis.
Setelah bekerja dengan Mesin Differensial selama sepuluh tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai membuat komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki peran penting dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi rencana,mencari pendanaan dari pemerintah Inggris,dan mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini memungkinkannya membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam mesin dan juga membuatnya menjadi programmer wanita yang pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika Serikat menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA sebagai penghormatan kepadanya.
Mesin uap Babbage,walaupun tidak pernah selesai dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut menggambarkan elemen dasar dari sebuah komputer modern dan juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri dari sekitar 50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi operasi bagi mesin tersebut.
Pada Tahun 1889,Herman Hollerith (1860-1929) juga menerapkan prinsip kartu perforasi untuk melakukan penghitungan.Tugas pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus sebelumnya yang dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu tujuh tahun untuk menyelesaikan perhitungan.Dengan berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan sensus.
Hollerith menggunakan kartu perforasi untuk memasukkan data sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara mekanik.Sebuah kartu dapat menyimpan hingga 80 variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil sensus dapat diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media penyimpan data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan secara drastis.Hollerith kemudian mengembangkan alat tersebut dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia mendirikan Tabulating Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa kali merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs juga memproduksi alat pembaca kartu perforasi untuk usaha bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh kalangan bisnis dan pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.
Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur membuat penemuan baru lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah kalkulator untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks yang selama ini dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin tersebut sangat besar dan berat karena ratusan gerigi dan poros yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan.Pada tahun 1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba membuat komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole (1815-1864) berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa setiap persamaan matematik dapat dinyatakan sebagai benar atau salah.Dengan mengaplikasikan kondisi benar-salah ke dalam sirkuit listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff dan Berry membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek mereka terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.
Setelah bekerja dengan Mesin Differensial selama sepuluh tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai membuat komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki peran penting dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi rencana,mencari pendanaan dari pemerintah Inggris,dan mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini memungkinkannya membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam mesin dan juga membuatnya menjadi programmer wanita yang pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika Serikat menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA sebagai penghormatan kepadanya.
Mesin uap Babbage,walaupun tidak pernah selesai dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut menggambarkan elemen dasar dari sebuah komputer modern dan juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri dari sekitar 50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi operasi bagi mesin tersebut.
Pada Tahun 1889,Herman Hollerith (1860-1929) juga menerapkan prinsip kartu perforasi untuk melakukan penghitungan.Tugas pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus sebelumnya yang dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu tujuh tahun untuk menyelesaikan perhitungan.Dengan berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan sensus.
Hollerith menggunakan kartu perforasi untuk memasukkan data sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara mekanik.Sebuah kartu dapat menyimpan hingga 80 variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil sensus dapat diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media penyimpan data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan secara drastis.Hollerith kemudian mengembangkan alat tersebut dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia mendirikan Tabulating Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa kali merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs juga memproduksi alat pembaca kartu perforasi untuk usaha bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh kalangan bisnis dan pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.
Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur membuat penemuan baru lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah kalkulator untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks yang selama ini dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin tersebut sangat besar dan berat karena ratusan gerigi dan poros yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan.Pada tahun 1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba membuat komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole (1815-1864) berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa setiap persamaan matematik dapat dinyatakan sebagai benar atau salah.Dengan mengaplikasikan kondisi benar-salah ke dalam sirkuit listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff dan Berry membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek mereka terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.
Pada makalah ini dibahas konsep fisika komputasi sebagai bagian diferensial sains modern, yang memadukan antara solusi analitik, intuisi fisika dan komputasi numerik di dalam menjelaskan berbagai fenomena fisika. Dilengkapi dengan materi – materi dasar yang saling berkaitan sebagai pemahaman awal didalam mempelajari fisika komputasi.
Komputasi (computation) adalah bagian integral sains modern dengan kemampuan eksploitasi ‘kekuatan’ komputer secara efektif di dalam aktivitas ilmuwan. Ditinjau dari aspek proses, komputasi adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas persoalan yang dinyatakan dalam model matematis.
Ilmu pengetahuan dan pemahaman adalah prasyarat agar implementasi komputasi numerik efektif. Ilmu pengetahuan bisa dipelajari dari analisa teori dan pemahaman bisa diperoleh dari pengalaman empiris, yaitu observasi dan eksperimen.
2.1 Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang disebut dengan f(x). Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu atau dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahan dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, dimana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan untuk mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut dan menyatakan sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan memakai uraian deret Taylor. Jika uraian deret Taylor di sekitar x dinyatakan dengan dan . Dimana masing-masing dinyatakan dengan persamaan:
Ilmu pengetahuan dan pemahaman adalah prasyarat agar implementasi komputasi numerik efektif. Ilmu pengetahuan bisa dipelajari dari analisa teori dan pemahaman bisa diperoleh dari pengalaman empiris, yaitu observasi dan eksperimen.
2.1 Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang disebut dengan f(x). Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu atau dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahan dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, dimana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan untuk mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut dan menyatakan sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan memakai uraian deret Taylor. Jika uraian deret Taylor di sekitar x dinyatakan dengan dan . Dimana masing-masing dinyatakan dengan persamaan:
2.1.1. Turunan Pertama
Jika kita mengambil selisih antara kedua persamaan (2.1) dan persamaan (2.2) maka akan didapatkan:
Jika kita mengambil selisih antara kedua persamaan (2.1) dan persamaan (2.2) maka akan didapatkan:
(2.3)
Dari persamaan (2.3) jika mengambil nilai h yang sangat kecil maka suku-suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa diabaikan.
Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Pertama dari suatu fungi f(x) yaitu:
Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Pertama dari suatu fungi f(x) yaitu:
(2.4)
2.1.2. Turunan Kedua
Untuk mendapatkan Turunan Kedua dari fungsi f(x) maka kita menjumlahkan kedua persamaan dan dalam persamaan (2.1) dan persamaan (2.2). sehingga didapatkan persamaan yaitu:
Untuk mendapatkan Turunan Kedua dari fungsi f(x) maka kita menjumlahkan kedua persamaan dan dalam persamaan (2.1) dan persamaan (2.2). sehingga didapatkan persamaan yaitu:
(2.5)
Bila h sangat kecil maka suku dengan h pangkat dua atau lebih bisa diabaikan. Sehingga akan didapatkan persamaan Turunan Kedua dari f(x) yaitu:
(2.6)
Kedua metode untuk mencari turunan diatas disebut dengan metode Beda Sentral (central difference).
2.2. Aplikasi penerapan diferensial dengan metode beda sentral dalam fisika
Dalam satu dimensi, sebuah gaya konservatif sama dengan negatif turunan fungsi energi potensial yang terkait:
Carilah gaya Fx yang berhubungan dengan fungsi energi potensial , dengan A adalah sebuah konstanta. Dimana A bernilai 3 dan h = 0,05.
Penyelesaian:
Jika ,
2.2. Aplikasi penerapan diferensial dengan metode beda sentral dalam fisika
Dalam satu dimensi, sebuah gaya konservatif sama dengan negatif turunan fungsi energi potensial yang terkait:
Carilah gaya Fx yang berhubungan dengan fungsi energi potensial , dengan A adalah sebuah konstanta. Dimana A bernilai 3 dan h = 0,05.
Penyelesaian:
Jika ,
· Maka secara analisa diperoleh penyelesaian sebagai berikut :
Secara analisis diperoleh gaya konservatif adalah .
· Jika dihitung melalui diferensial biasa maka diperoleh penyelesaian untuk menentukan gaya konservatif adalah :
Sehingga diperoleh bahwa dalam penyelesaian secara analisa maupun secara diferensial biasa dihasilkan nilai yang sama yaitu gaya konservatif adalah .
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Makalah mengenai diferensial dengan metode beda sentral mempunyai beberapa kesimpulan sebagai berikut:
Makalah mengenai diferensial dengan metode beda sentral mempunyai beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan memakai uraian deret Taylor.
2. Masalah diferensiasi adalah penentuan nilai pendekatan atau hampiran untuk turunan suatu fungsi f .
3. Penyelesaian diferensial secara analisa dengan metode beda sentral maupun secara diferensial biasa dihasilkan nilai yang sama yaitu gaya konservatif adalah.
3.2 Saran
Berdasarkan uraian diatas, ada beberapa saran yang dapat disampaikan seperti penyusunan makalah Fisika Komputasi I tentang “ Diferensial dengan metode beda sentral”. Dengan metode-metode yang telah ditentukan masih jauh dari kesempurnaan untuk memperlengkap makalah Fisika Komputasi I ini. Dapat disarankan agar dilakukan pengembangan program lebih lanjut, misalnya antara lain sebagai berikut.
1. Memvisualisasikan solusi persamaan diferensial numerik dalam pemograman.
2. Mengembangkan program ini sehingga dapat dihasilkan visualisasi solusi persamaan diferensial numerik untuk jumlah waktu update yang lebih besar.
Dengan demikian, penyusun sangat mengharapkan agar pembaca dapat memahami makalah ini agar kedepannya dapat bermanfaat dan lebih menerapkan “diferensial beda sentral” dalam kehidupan sehari-hari.
DAFTAR PUSTAKA
Tipler. 1991. Fisika untuk Sains dan Teknik Jilid I (terjemahan). Jakarta: Erlangga
Widagda, IGA. S.Si. MKom. 2006. Fisika Komputasi. Denpasar: Universitas Udayana Fakultas MIPA Jurusan Fisika.
www. Google.com
